La adquisición de un dominio sólido del álgebra lineal requiere ante todo la comprensión de las estructuras que constituyen su fundamento. El presente volumen se propone desarrollar dicha comprensión mediante una exposición que conjuga el rigor teórico con la atención a los aspectos operativos. En cada capítulo se proponen ejercicios, completamente resueltos en una sección final del libro.
La exposición desarrolla de manera orgánica todo el programa de un curso universitario de álgebra lineal. Se parte de los fundamentos operativos: sistemas de ecuaciones lineales, eliminación de Gauss, cálculo matricial y teoría del determinante. A continuación se construye el núcleo conceptual de la materia: la definición axiomática de espacio vectorial, el teorema de Steinitz, la noción de base y dimensión, la fórmula de Grassmann. Las aplicaciones lineales traducen estas estructuras al lenguaje de las matrices asociadas y del cambio de base. Los capítulos posteriores abordan valores propios, diagonalización y sus aplicaciones, potencias de matrices, sucesiones recurrentes, sistemas diferenciales, para después desarrollar la teoría del producto escalar, los espacios euclídeos, el proceso de Gram-Schmidt y el teorema espectral para las matrices simétricas reales. El volumen se cierra con las formas bilineales y cuadráticas, la clasificación de las cónicas y las cuádricas, y la forma canónica de Jordan con la exponencial de matriz.
El recorrido está estructurado de manera secuencial y progresiva: cada capítulo utiliza el material de los precedentes e introduce nuevos conceptos con gradualidad. Todo resultado importante es demostrado; cada definición va seguida de ejemplos resueltos y, siempre que es posible, de una figura que hace visible su significado geométrico. Las observaciones diseminadas a lo largo del texto señalan los errores más frecuentes y las sutilezas que es fácil pasar por alto en una primera lectura. Los ejercicios al final de cada capítulo permiten consolidar lo aprendido y verificar la comprensión. El libro presupone únicamente las matemáticas del primer año universitario, conjuntos, funciones, trigonometría elemental, y no requiere ningún prerrequisito de álgebra lineal. Está pensado para estudiantes de Matemáticas, Física, Ingeniería e Informática que desean construir una competencia sólida en la materia.
